Activité 1
François Morellet, né à Cholet (Maine-et-Loire) le 30 avril 1926 et mort le 10 mai 2016 dans cette même ville, est un artiste français qui a fondé son art sur les formes élémentaires que sont la ligne, la grille et le carré.
Les œuvres de François Morellet répondent à « des systèmes aussi absurdes que rigoureux » dit-il. Ainsi, en 1962, il peint un tableau nommé Répartition aléatoire de 40 000 carrés selon les chiffres pairs et impairs d’un annuaire de téléphone. L’essence même de l’art de Morellet est là, dans un mélange de formules mathématiques complexes et de hasard.
Répartition aléatoire de 40 000 carrés selon les chiffres pairs et impairs d’un annuaire de téléphone, huile sur toile, 1962
1) En utilisant le titre, expliquer comment a été réalisée cette œuvre.
2) Cette oeuvre est peinte sur une toile carrée. Combien y a-t-il de carrés sur un côté de la toile ?
Activité 2:
Indiquer dans chaque cas si on peut connaître le résultat de chaque expérience à l’avance :
- On lance une pièce de monnaie et on regarde la face du dessus.
- On appuie sur le chiffre 1 sur une calculatrice et on regarde ce qui s’affiche à l’écran.
1- Décrire une expérience aléatoire
Définition
Une expérience est dite aléatoire lorsqu’il y a plusieurs résultats possibles et qu’on ne peut pas prévoir avec certitude quel résultat se produira.
Exercice 1 :
Parmi les expériences suivantes, quelles sont celles qui sont aléatoires?
- Le choix du terrain se fait à pile ou face avant le coup d’envoi d’un match de rugby:
- Si je fais la somme des angles d’un triangle, je trouve 180°:
Exercice 2:
On lance un dé à 6 faces et on observe la face du dessus.
Quels sont les résultats possibles de cette expérience aléatoire ?
Définition
Chaque résultat possible d’une expérience aléatoire est une issue de l’expérience.
Exercice 3:
Les boules de loto sont numérotées de 1 à 49. Une machine en tire une au hasard et on note son numéro.
Quelles sont les issues qui réalise l’évènement « le numéro est plus grand que 40 »?
Définition
Un événement est constitué par des issues d’une expérience aléatoire. On dit qu’une de ces issues réalise l’événement.
Exercice 4:
On lance un dé à 12 faces.
Quelles sont les issues qui réalisent l’événement « obtenir un nombre pair » ?
2- De la vie courante aux probabilités
Exercice 5:
Maxence s’exclame : « J’ai la poisse ! Quand je joue avec un dé, je n’obtiens quasiment jamais le 6 ! ».
Sa petite soeur lui répond: « Tu n’as qu’à le lancer 6 fois, tu seras sûr d’en obtenir un! ». Qu’en pensez-vous ?
Exercice 6:
Lila joue au « trivial pursuit »avec ses amis et elle vient d’obtenir quatre fois de suite le 1 avec le dé. Elle se plaint de ne pas avoir de chance.
Ses amis lui répondent: « Comme tu as déjà obtenu quatre fois le 1, tu es quasiment sûre que la prochaine fois, ce ne sera pas le cas. » Ont-ils raison?
Exercice 7:
Jérémy et Solène veulent jouer à la roulette. Celle-ci comporte 37 cases: 18 rouges, 18 noires et 1 verte. Lorsqu’on lance une bille en faisant tourner la roulette, elle peut s’arrêter sur une case de couleur rouge, noire ou verte.
Jérémy dit à Solène: « Comme il y a trois couleurs possibles, tu as une chance sur trois de tomber sur la case verte. » Solène n’est pas d’accord. Qui a raison ?
Activité 3:
Voici cinq événements et cinq expressions:
1) Compléter la dernière colonne du tableau en y écrivant la lettre qui convient:
| Evénements | Expressions | Proportion de chances |
| A: Une grossesse aboutit à la naissance d’une fille B: Une personne pèse plus de 1000 kg C: Un gagnant au loto a joué au loto D: A la plage, on se baigne E: On trouve une perle dans une huître | 1. Très fréquent 2. Une fois sur deux 3. Jamais 4. Toujours 5. Peu fréquent | 1. ……………………… 2. ………………………. 3. ……………………… 4. ……………………… 5. ……………………… |
2) Compléter le schéma représentant ces proportions de chances en plaçant au dessous de chaque flèche la lettre et le numéro qui correspond:
Exercice 8 :
On lance un dé cubique équilibré.
Voici quatre événements:
- Compléter la dernière colonne du tableau:
| Evénements | Expressions | Proportion de chances |
| A: obtenir un numéro impair B: obtenir un résultat plus grand que 8 C: obtenir un numéro supérieur à 1 D:obtenir un nombre entier | 1. Très fréquent 2. Une fois sur deux 3. Jamais 4. Toujours | 1. ……………………… 2. ………………………. 3. ……………………… 4. ……………………… |
2) Compléter le schéma représentant des proportions de chances en plaçant au dessous de chaque flèche la lettre et le numéro qui correspond:
3- Proportion de chances
Activité 4
Prenons le jeu du pile ou face.
On lance une pièce de monnaie. Les issues possibles sont P (pile) ou F (face).
1) Quelle est la proportion de chances d’obtenir F ?
2) On réalise 10 nouveaux lancers. On note les issues :
P- F-F-F-P-F-P-F-F-F.
Le résultat du 11ème lancer sera-t-il P ?
3) Pour réaliser un très grand nombre de lancers, on utilise le logiciel Scratch et on écrit ce script ( que vous pouvez reproduire chez vous!)
a) Que simule ce script ?
Remarque : « nombre aléatoire entre 1 et 2 » veut dire 1 ou 2 seulement.
Que représente alors la variable n ? la variable f ?
b) Le nombre n est 10 000. On a fait ces relevés :
| Expérience n° | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Valeur de la variable f | 4988 | 5006 | 5000 | 5101 | 5030 |
| Fréquence de cette variable f arrondie à 0,01 | 4988:1000≈ 4,99 |
Compléter la ligne « fréquence » sans la calculatrice.
c) Le nombre n est 100 000 ( avec le mode turbo).On a fait ces relevés :
| Expérience n° | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Valeur de la variable f | 49957 | 49890 | 50240 | 49576 | 50015 |
| Fréquence de cette variable f arrondie à 0,01 |
Compléter la ligne « fréquence » sans la calculatrice.
d) Le nombre n est 1 000 000. On a fait ces relevés :
| Expérience n° | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Valeur de la variable f | 500 051 | 499 877 | 50 0215 | 499 976 | 499 881 |
| Fréquence de cette variable f Arrondie à 0,01 |
Compléter la ligne « fréquence » sans la calculatrice.
e) Compléter le texte suivant après avoir observé les lignes « fréquence » des 3 tableaux :
Plus le nombre de lancers est important, plus la fréquence d’apparition de la face F est proche de la proportion des chances de l’apparition de cette face c’est à dire de la fraction 1/2.
4-Probabilité
Exercice 9:
Le graphique ci-contre indique la fréquence à laquelle se réalise l’événement « obtenir Face ». On remarque que, pour un très grand nombre de lancers, la fréquence d’obtenir Face se rapproche de …. Ainsi, la proportion de chances d’obtenir face est ………..
Remarque :
on peut réaliser ce type de graphique avec un tableur
Voir la vidéo :
Définition
Lorsqu’on effectue un très grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence à laquelle se réalise un événement se rapproche d’une « fréquence théorique » appelée la proportion de chances ou la probabilité de cet événement.
La probabilité d’un événement ou la « proportion de chances » que cet événement se réalise est un nombre compris entre 0 et 1 .
exercice 10:
On lance un dé à 6 faces pour lequel on a:
| Issue | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Proportion de chances ou probabilité | 1/12 | 1/12 | 1/12 | 1/12 | 1/6 |
1) Quelle est la probabilité d’obtenir un 4 qu’on note p(obtenir un 4) ?
On dit que ce dé est truqué. Il n’ y a pas équiprobabilité ( pas la même probabilité pour chaque issue )
3) Avec un dé équilibré, quelle serait la probabilité d’obtenir un 4 ?…
Propriété
La somme des probabilités de toutes les issues d’un expérience aléatoire est égale à 1
Exercice 11 ( d’après DNB)
Un sac contient 20 jetons qui sont soit jaunes, soit verts, soit rouges, soit bleus.
On tire au hasard un jeton, on note sa couleur et on le remet dans le sac.
Louis qui connaît la composition du sac , a simulé un grand nombre de fois l’expérience avec un tableur. Il a représenté ci-dessous l’évolution de la fréquence d’apparition des différentes couleurs au cours de 1000 tirages.
1) Estimer la probabilité de chacune des issues de l’expérience.
2) Proposer alors une composition du sac .
Exercice 12 ( d’après DNB)
Les maths de VB 