Statistiques: Trois caractéristiques

1- 1ère caractéristique : la moyenne

Activité 1:

« On connaît l’homme le plus vieux du monde, le plus grand ou le plus gros…Mais quel est le plus typique sur la planète ? Une enquête statistique permet enfin d’y répondre.

Sexe : masculin. Age : 28 ans. Origine : Chine… Le magazine « National Geographic » s’est prêté à un exercice statistique pour le moins original en allant chercher les dénominateurs les plus communs aux 7 milliards d’êtres humains qui peupleront la Terre d’ici à la fin de cette année.
Pour y parvenir, ils ont d’abord compilé les caractéristiques moyennes à l’espèce humaine (sexe, âge, revenus, habitudes quotidiennes…). Puis ils ont dressé un portrait-robot de l’humain type en superposant 190 000 photos prises au cours des dix dernières années. Le résultat,…, tient en un visage. Celui d’un jeune homme asiatique. D’ici à 2030, l’homme chinois pourrait être supplanté par un Indien. »

6 mars 2011, Le Parisien
Le tableau ci-dessous donne la population mondiale en 2015 (en millions d’habitants)

Continent	Asie	Afrique	Europe	Amérique	Océanie	Antarctique
Population	4 393	1 186	738	992	39	1,5

1) Quel est le nombre d’habitants sur la planète en 2015?

2) Si tous les continents avaient la même population, quel serait ce nombre d’habitants? . Ce nombre s’appelle la moyenne de cette série de données. Fait-il partie de la série de données ?

3) Répondre par vrai ou faux ?

a) Sans calcul, on sait que la moyenne est obligatoirement comprise entre 1 500 000 et 4 393000 000 :

b) On peut retrouver la moyenne en effectuant (1 500 000 + 4 393000 000):2 ?

c) Il y a autant de continents qui ont une population au dessus de la moyenne qu’en dessous:

définition:

La moyenne d’une série statistique est égale à

( la somme des valeurs de la série) : effectif total

La moyenne se note m pour moyenne avec une barre au dessus)

Exercice 1:

Pour chaque entreprise, voici les salaires des six personnes qui les composent:

Entreprise A: 4 ouvriers, 1 secrétaire et 1 cadre dirigeant

Salaires annuels: 13 970€ – 13 970€ – 13 970€ – 13 970€ – 14 200€ – 41 280€

Entreprise B: 3 ouvriers, 2 employés et 1 cadre

Salaires annuels: 14 300€ – 14 300€- 14 300€- 18 600€ -18 600€ – 31 260€

1) Quel est le salaire moyen annuel dans chaque entreprise ?

exemple: Entreprise A : m = ( 13970+ …+ 41280) : 6 = ..

( Pour ne pas écrire toutes la valeurs, par convention, on écrit : 1ère valeur + … + Dernière valeur)

2) Pour chaque entreprise, combien y a-t-il de personnes ayant un salaire supérieur au salaire moyen ?

On peut en conclure que la moyenne est une caractéristique qui ne permet pas d’étudier correctement les salaires dans ces deux entreprises.

2- 2ème caractéristique : la médiane

Les valeurs de la série étant rangées dans l’ordre croissant, la médiane est un nombre qu’on note me tel que:

– La moitié des valeurs sont inférieures ou égales à me

– La moitié des valeurs sont supérieures ou égales à me

( médiane : « milieu » de la série statistique)

exemple 1: cas d’un effectif impair

déterminer la médiane de la série : 4- 5- 5- 7 – 12 – 13- 16 – 17 – 59

1^er point : les valeurs sont rangées dans l’ordre croissant

2ème point : l’effectif total est 9. (Il y a 9 valeurs.) . On divise 9 par 2 ; cela est égal à 4,5.

On doit partager la série de valeurs en 2 groupes de 4,5 valeurs. Ce n’est pas possible.

On va partager la série en 2 groupes de 4 valeurs :

4-5-5-7 12 13-16-17-59

1^er groupe médiane 2ème groupe

12 représente le « milieu » de la série. Il y a autant de valeurs au dessus qu’en dessous cette valeur donc me= 12.

exemple 2: cas d’un effectif pair

déterminer la médiane de la série: 6- 7- 13- 19- 15 – 14

1^er point : les valeurs ne sont pas rangées dans l’ordre croissant. On doit le faire :

6 -7 – 13 – 14 – 15 -19

2ème point : l’effectif total est 6. (Il y a 6 valeurs.) . On divise 6 par 2 ; cela est égal à 3.

On doit partager la série de valeurs en 2 groupes de 3 valeurs. C’est possible.

On va partager la série en 2 groupes de 3 valeurs :

6-7-13 14-15-19

1^er groupe médiane ? 2ème groupe

La médiane est entre 13 et 14. Dans ce cas, on fait la moyenne de ces deux valeurs.

me=( 13 +14) : 2= 13 ,5

Activité 2:

Voici les salaires nets en euros pour chacun des sept employés de deux PME ( petites et moyennes entreprises):

PME A: 1231 1231 1360 1420 2630 3021 5620

PME B: 1231 1231 1360 1420 2 530 3721 5020

1) Calculer la moyenne et la médiane des salaires pour chaque PME. Peut-on étudier les salaires de ces deux PME en utilisant ces deux caractéristiques ?

2) En France, selon une étude de l’Insee, le salaire net mensuel médian s’élevait à 1797€ en 2019.

Quant au salaire net moyen, il atteignait 2 202€. Comment expliquer cette différence?

3) Pour différencier ces deux séries de données, on peut utiliser une autre caractéristique.

Calculer la différence entre le plus grand et le plus petit salaire de chaque PME.

PME A : 5620 – 1231 =…

PME B : 5020 – 1231= ……Cette dernière caractéristique s ‘appelle l’étendue. Elle permet ici de différencier les salaires dans les deux PME.

3- Etendue

l’étendue est la différence entre la plus grande valeur de la série et la plus petite valeur de la série.

On la note e.

Activité 3:

Voici les salaires nets en euros pour chacun des sept employés de deux PME:

PME C: 1231 1231 1360 1420 2630 3021 5620

PME D: 1231 1231 1360 1420 2 530 3121 5620

Calculer la moyenne, la médiane et l’étendue des salaires pour chaque PME.

Comparer ces deux PME en utilisant ces trois caractéristiques. Que peut-on en conclure ?

Dans cette activité, les 3 caractéristiques ne permettent pas de différencier les deux PME. J’explique alors qu’il existe d’autres caractéristiques vues au lycée seulement: les quartiles et les déciles.

Exercice corrigé:

Les informations suivantes concernent les salaires des hommes et des femmes d’une même entreprise.

Salaires des femmes:

1200€ – 1230€- 1250€-  1310€-  1380€

1400€-  1440€- 1500€ – 1700€ – 2100€

Salaires des hommes:

Effectif total: 20    Etendue: 2400€    Moyenne: 1769€   Médiane= 2000€

( les salaires des hommes sont tous différents)

1) Calculer en détaillant vos calculs l’étendue , la moyenne et la médiane des salaires des femmes. Comparer les salaires des femmes et des hommes dans cette entreprise

e= 2100 – 1200 = 900  L’étendue des femmes est égale à 900.euros 

m = (1200 +…+2100) /10 = 1451 La moyenne est de 1451 euros

L’effectif total est de 10, donc pour calculer la médiane il suffit de faire 2 groupes de 5 valeurs :

1200-1230-1250-1310-1380         1400-1440-1500-1700-2100

              groupe 1                                                 groupe 2

La médiane est comprise entre 1380 euros et 1400 euros donc me = (1380+1400)/2 =1390 euros

La médiane est donc 1390 euros.

Dans cette entreprise, la moyenne et La médiane des salaires des femmes sont moins élevées que celles des hommes. Si on observe les médianes, on peut voir que la moitié des hommes gagnent plus de 2000€ et qu’une seule femme gagne plus de 2000€. L’étendue des salaires des hommes est plus élevée que l’étendue des salaires femmes. Cela veut dire que les salaires des femmes sont moins dispersés que ceux des hommes. Les salaires des femmes sont proches les uns des autres, proches de la médiane et de la moyenne. Les salaires des hommes sont plus élevés en moyenne que ceux des femmes mais il y a entre leurs salaires de grandes différences, ce qui explique l’écart important entre la médiane et la moyenne pour les salaires des hommes..

2) Le plus bas salaire dans l’entreprise est de 1000 € . Quel est le salaire le plus élevé ? Expliquer votre réponse

Le salaire de 1000 euros appartient forcément à un des hommes, car le salaire le plus bas des femmes est de 1200 euros. On sait également que l’étendue des hommes est de 2400. L’étendue se calcule en soustrayant la valeur la plus basse à la valeur la plus importante, donc nous pouvons en conclure que le salaire le plus élevé est égale à 2400+1000 = 3400 

3400 euros est supérieure au salaire le plus élevé des femmes, donc je conclus que le salaire le plus élevé est 3400 euros.

3) Dans cette entreprise, combien de personnes gagnent plus de 2000€ ? Expliquer votre réponse

On sait qu’une seule femme gagne plus de 2000 euros.

L’effectif total des hommes est de 20, donc on sait que pour calculer la médiane, cette série a été partagé en 2 groupes de 10. La médiane est égal à 2000 euros ; cela signifie que la série a été partagée en un groupe de dix avec des salaires inférieures à 2000 euros et un groupe de 10 avec des salaires supérieures à 2000 euros. 10 hommes ont donc un salaire supérieure à 2000 euros.

Dans cette entreprise, 11 personnes ont un salaire supérieure à 2000 euros.