Droites sécantes, perpendiculaires ou parallèles

Dynamo de François Morellet

Activité: la carte de LMVB

Voici une carte du royaume de LMVB:

1. Le héros situé en H veut rejoindre la route 15 par le plus court chemin. Tracer ce chemin. Sa position sur la route 15 sera notée par un point que vous nommerez H’.

On dira que ce chemin et la route 15 sont sécants et plus précisément, que ce chemin est perpendiculaire à la route 15. Le point H’ est le point d’intersection du chemin et de la route 15 .

2. Le héros situé en H’ veut maintenant rejoindre la rivière par le plus court chemin. Tracer ce chemin. Sa position au bord de la rivière sera notée par un point que vous nommerez H ».

3. Que peut-on dire des points H, H’ et H » ? Expliquer pourquoi.

1- Droites sécantes

Sur la figure, les droites (d) et (d’) sont sécantes.

Deux droites sécantes sont des droites qui ont un point

d’intersection

2- Droites perpendiculaires

a) vocabulaire et notation

On dit que les droites (d) et (d’) sont perpendiculaires en A.

On note ; (d) ⊥ (d’)

Deux droites perpendiculaires sont des droites sécantes qui forment un angle droit.

b) Reconnaître des droites qui semblent perpendiculaires

– avec une feuille papier calque ( construire deux droites perpendiculaires sur une feuille papier calque en utilisant les lignes horizontale et verticale du cahier des élèves)

– avec une équerre.

– en observant:

la barre « plus foncée » peut tourner autour du point A.

Quand la barre « foncée » doit tourner autant pour aller sur M que sur N, les deux barres semblent perpendiculaires.

c) Tracer une perpendiculaire

Tracer la droite (d’) perpendiculaire à la droite (d) passant par A.

Il existe une droite perpendiculaire à la droite (d) passant par le point A

3- Droites parallèles

a) vocabulaire et notation

On dit que les droites (d) et (d’) sont parallèles

On note ; (d)// (d’)

Deux droites parallèles sont des droites qui ne sont jamais sécantes.

b) Reconnaître des droites qui semblent parallèles

– en utilisant une feuille papier calque et en créant un instrument  » parallèles ». Il faut tracer des lignes horizontales du cahier sur une feuille papier calque. Cet instrument permet de savoir si des droites semblent parallèles sans avoir à les prolonger.

– en observant la distance entre les deux droites

c) Tracer une parallèle

Tracer la droite (d’) parallèle à la droite (d) passant par A.

Remarque: les élèves construisent une parallèle en construisant des points qui restent à la même distance de la droite (d).

Il existe une seule droite parallèle à la droite (d) passant par le point A.

4- Une première propriété:

Activité:

Que peut-on dire des droites (d1) et (d2) ? Expliquer pourquoi

J’utilise un raisonnement par l’absurde en supposant que les droites (d1) et (d2) ne sont pas parallèles. Si elles ne sont pas parallèles alors elles sont sécantes en un point A. Du coup, (d1) et (d2) sont deux droites perpendiculaires à la même droite passant par le point A, ce qui n’est pas possible.

Propriété 1: Si deux droites sont perpendiculaires à la même droite alors elles sont parallèles.

5- Tracer une parallèle avec l’équerre et la règle ( grâce à la propriété 1)

6- Une deuxième propriété

Activité:

(d2) et (d1) sont parallèles. Que peut-on dire des droites (d) et (d2) ? Expliquer pourquoi.

J’utilise un raisonnement par l’absurde en supposant que les droites (d) et (d2) ne sont pas perpendiculaires en leur point d’intersection qu’on nomme M. Si elles ne sont pas perpendiculaires alors il existe une droite (d3) différente de (d2) perpendiculaire à (d) et passant par M. Les droites (d1) et (d3) sont perpendiculaires à la droite (d) donc d’après la propriété 1, elles sont parallèles. Du coup, (d3) et (d2) sont deux droites parallèles à (d) passant par le point M. Comme il existe une seule droite parallèle à une droite donnée passant par un point donné, ceci n’est pas possible.

Propriété 2:

Si deux droites sont parallèles et si une troisième droite est perpendiculaire à l’une alors elle est perpendiculaire à l’autre.

Exercice

Compléter le tableau suivant:

Données	Figure	Propriété	Conclusion
(AB) ⊥ (CD) et (FE) ⊥ (CD)		Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors ces deux droites sont parallèles.
(AF) // (OT) et (AO) ⊥ (OT)		Si deux droites sont parallèles et si une troisième droite est perpendiculaire à l’une, alors elle est perpendiculaire à l’autre.