Périmètre du cercle et aire du disque

1) Le périmètre d’un cercle

Activité 1

On veut évaluer le périmètre d’un cercle. Pour cela, on va prendre différents objets avec des parties cylindriques :

À l’aide d’une ficelle (ou d’un mètre ruban), on veut mesurer la longueur d’un tour autour de ces objets. Pour être plus précis, pour les petits objets, on fait 10 tours autour de chacun. On mesure :

Avec une règle, on mesure le diamètre de la base de ces différents objets :

j’ai complété le tableau suivant :

	Objet 1	Objet 2	Objet 3	Objet 4
Diamètre en cm	2,1	4	3,5	8,5
Longueur de 10 tours de ficelle en cm	66	126	110	Non fait
Longueur d’un tour en cm				26,9

1) Compléter la 3ème ligne du tableau « longueur d’un tour en cm ».

2) Utiliser une calculatrice pour compléter la 4ème ligne «  longueur d’un tour divisée par le diamètre ».

On peut remarquer que la longueur d’un tour divisée par le diamètre est toujours égale au même nombre. Ce nombre n’ a pas d’écriture décimale. On cherche encore toutes les décimales de ce nombre…On l’appelle le nombre pi noté π ( lettre grecque)

3) Sur internet, chercher la page wikipedia dédiée au nombre pi.

Compléter alors le texte ci-dessous :

Pi s’appelle aussi la constante d’ …………………………..… ( ligne 1)

le nombre pi vaut environ 3,..….592 …………………… avec 15 décimales ( ligne 5).

A la fin du paragraphe ère informatique, on peut lire :

Depuis 2010, les records du nombre de décimales trouvées utilisent le programme informatique ………………………………………… .

Le 14 mars 2019, Google rend public un nouveau record du nombre de décimales trouvé pour le nombre pi. Le nouveau record du monde s’établit à …………………….milliards de décimales.

On retient:

Le périmètre d’un cercle = diamètre x π

Ou 2 x Rayon x π

exemple 1:

Le périmètre exact d’un demi-disque de rayon 2 cm

est égal à (2×2) + [(2 x2 x π) : 2] = 4 + ( 2 x π) cm

car (2 x2 x π) : 2 = = 2 x π

( on a divisé le numérateur et le dénominateur par 2)

Exercice 1:

On donne la figure suivante où chaque carreau est un carré de côté 1 cm :

Calculer le périmètre exact en cm de cette figure en gardant la lettre π

2) Aire d’un disque

Activité 2

Un disque de rayon R a été découpé en 36 parties égales.

1) Quel est le périmètre de ce cercle?

En découpant les 36 secteurs, on peut reconstituer la surface suivante:

2) Plus le nombre de secteurs est grand, plus la surface obtenue pourra être assimilée à la surface d’un rectangle.

Ecrire les dimensions du rectangle à l’aide du rayon R et de π :

longueur:…………………………………………………………..

largeur: ……………………………………………………………

Quelle est alors l’aire de ce rectangle à l’aide du rayon R et de π ?

On retient:

L’aire d’un disque = π  x rayon x rayon

exemple 2:

l’aire exacte du quart d’un disque de rayon 2 cm est égale à ( 2 x2 x π) : 4 = ( 4 x π ) : 4 = π cm²

Exercice 2:

On donne la figure suivante où chaque carreau est un carré de côté 1 cm :

Calculer l’aire exacte en cm²de cette figure en gardant la lettre π.

Exercice 3

Convertir :

2,345 cm² = ………………. dm² ; 0,05 dam²= ………………. hm² ;

54 m²= …………… dam²